Preparare l'impasto. Scaldate il latte finché non diventa tiepido e scioglietevi il lievito. Mettere 2,5 tazze di farina in una ciotola profonda. Il mezzo bicchiere rimanente servirà più avanti. Versare il latte nella farina. Aggiungere l'uovo e il burro. Mescolare accuratamente. L'impasto dovrebbe diventare liscio e morbido. Coprite con pellicola trasparente e lasciate lievitare in un luogo caldo per 60 minuti.
Mentre l'impasto lievita, preparate il ripieno. Aggiungere alle patate lesse il burro, mezzo bicchiere di latte, sale e pepe e schiacciare fino a ottenere un composto liscio.
Quando l'impasto sarà lievitato, dividetelo in parti uguali. Stendere ogni parte con un mattarello fino a formare delle focaccine rotonde e piatte spesse circa 0,5 cm.
Disporre il ripieno al centro di ogni piadina. Avvolgere il ripieno nella pasta, raccogliendolo verso l'alto. Premere con le mani, girare e impastare delicatamente. Stendere con cura con il mattarello.
Mettere il khachapuri nella padella, coprire con il coperchio e friggere a fuoco basso per circa 8 minuti, finché l'impasto non si rapprende in superficie. Giralo. Friggere per altri 3 minuti, finché l'impasto non diventa dorato. Disporre il pane azzimo pronto su un piatto e spennellarlo con un pezzetto di burro.