Preparare l'impasto. Scaldate il latte finché non diventa tiepido e scioglietevi il lievito. Mettere 2,5 tazze di farina in una ciotola profonda. Il mezzo bicchiere rimanente servirà più avanti. Versare il latte nella farina. Aggiungere l'uovo e il burro. Mescolare accuratamente. L'impasto deve diventare liscio e morbido. Coprite con pellicola trasparente e lasciate lievitare in un luogo caldo per 60 minuti.
Mentre l'impasto lievita, preparate il ripieno al formaggio. In una ciotola mescolate il formaggio grattugiato, l'uovo e il burro. Lascialo sul tavolo.
Preparare il khachapuri per la cottura. Mescolare l'impasto lievitato con la farina rimasta, impastare e dividere in 3 parti. Stendere ogni parte con un mattarello fino a formare delle focaccine rotonde e piatte, spesse circa 0,5 cm.
Disporre il ripieno al centro di ogni tortino, dividendolo in 3 parti uguali. Avvolgere il ripieno nella pasta, raccogliendolo verso l'alto. Premere con le mani, girare e impastare delicatamente. Stendere con cura con il mattarello. Bucherellare più punti con una forchetta per far uscire l'aria durante la cottura.
Disporre su una teglia e infornare nel forno preriscaldato a 180°C per 15 minuti.
Servire il khachapuri con il formaggio Adyghe, guarnendo il piatto con un assortimento di prezzemolo, aneto e coriandolo.