Passare il filetto di tacchino attraverso una grande griglia per tritacarne o tritarlo in carne macinata con un coltello.
Sbucciare la cipolla e l'aglio, tritarli finemente e rosolarli nel burro fino a renderli morbidi, da 7 a 10 minuti. Frullare con un frullatore. Sbucciare le patate e grattugiare sulla grattugia più piccola.
Mescolare il tacchino, le patate e la purea di cipolla e aglio. Condire con sale, pepe ed erbe di Provenza. Formate 4 cotolette rotonde spesse 2 cm, adagiatele su un tagliere foderato di carta da forno e mettete in frigo per 30-60 minuti.
Tagliare gli involtini a metà nel senso della lunghezza e farli tostare subito sui carboni ardenti a lato del taglio. Spennellate i tagli con il pesto.
Preriscaldare una griglia, spennellare con olio, aggiungere gli hamburger e grigliare, rigirando 2 volte, fino a cottura completa, circa 8 minuti. Scaldare le verdure arrostite allo stesso tempo.
Disporre le verdure e le polpette sui panini e servire subito.