Préparez la pâte. Faites chauffer le lait jusqu'à ce qu'il soit tiède et dissolvez-y la levure. Mettre 2,5 tasses de farine dans un bol profond. Le demi-verre restant sera nécessaire plus tard. Versez le lait dans la farine. Ajoutez l’œuf et le beurre. Bien mélanger. La pâte doit devenir lisse et molle. Couvrir d'un film alimentaire et placer dans un endroit chaud pendant 60 minutes.
Pendant que la pâte lève, préparez la garniture au fromage. Dans un bol, mélanger le fromage râpé, l’œuf et le beurre. Laissez-le sur la table.
Préparez le khachapuri pour la cuisson. Mélanger la pâte levée avec le reste de farine, pétrir et diviser en 3 parties. Étalez chaque partie avec un rouleau à pâtisserie en galettes rondes et plates d'environ 0,5 cm d'épaisseur.
Déposez la garniture au centre de chaque pain plat, en la divisant en 3 parts égales. Enveloppez la garniture dans la pâte en la rassemblant vers le haut. Appuyez avec vos mains, retournez et pétrissez légèrement. Étalez soigneusement à l'aide d'un rouleau à pâtisserie. Piquez avec une fourchette à plusieurs endroits pour permettre à l'air de s'échapper pendant la cuisson.
Déposer sur une plaque de cuisson et enfourner dans un four préchauffé à 180°C pendant 15 minutes.