Preparar la masa. Calentar la leche hasta que esté tibia y disolver en ella la levadura. Coloque 2,5 tazas de harina en un recipiente hondo. El medio vaso restante lo necesitaremos más tarde. Vierta la leche en la harina. Añade el huevo y la mantequilla. Mezclar bien. La masa debe quedar lisa y suave. Cubrir con film transparente y dejar en un lugar cálido durante 60 minutos.
Mientras la masa sube, prepare el relleno de queso. En un bol mezcla el queso rallado, el huevo y la mantequilla. Déjalo sobre la mesa.
Prepare khachapuri para hornear. Mezclar la masa leudada con el resto de la harina, amasar y dividir en 3 partes. Con la ayuda de un rodillo, estira cada parte hasta formar tortas redondas y planas de unos 0,5 cm de espesor.
Coloque el relleno en el centro de cada pan plano, dividiéndolo en 3 partes iguales. Envuelve el relleno en la masa, juntándolo hacia arriba. Presionar con las manos, dar la vuelta y amasar ligeramente. Estirar con cuidado con un rodillo. Pinchar con un tenedor en varios lugares para permitir que escape el aire durante la cocción.
Colocar en una bandeja de horno y llevar al horno precalentado a 180°C durante 15 minutos.