Preparar la masa. Calentar la leche hasta que esté tibia y disolver en ella la levadura. Coloque 2,5 tazas de harina en un recipiente hondo. El medio vaso restante lo necesitaremos más tarde. Vierta la leche en la harina. Añade el huevo y la mantequilla. Mezclar bien. La masa debe quedar lisa y suave. Cubrir con film transparente y dejar en un lugar cálido durante 60 minutos.
Mientras la masa sube, prepare el relleno. Añade mantequilla, medio vaso de leche, sal y pimienta a las patatas cocidas y tritura hasta que quede una masa homogénea.
Cuando la masa haya subido, dividirla en partes iguales. Con un rodillo, estira cada parte hasta formar tortas redondas y planas de unos 0,5 cm de grosor.
Coloque el relleno en el centro de cada pan plano. Envuelva el relleno en la masa, juntándolo hacia arriba. Presionar con las manos, dar la vuelta y amasar ligeramente. Estirar con cuidado con un rodillo.
Coloque el khachapuri en la sartén, cubra con una tapa y fría a fuego lento durante unos 8 minutos hasta que la masa se asiente en la superficie. Dale la vuelta. Freír durante 3 minutos más hasta que la masa adquiera un color dorado. Coloque el pan plano terminado en un plato y pincele con un trozo de mantequilla.